\chapter{G. H. Hardy (1916) 关于魏尔斯特拉斯函数无处可微性的定理}

\date{2025.09.04}

\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{proofpart}{部分证明}
	
	\begin{abstract}
		本文旨在阐述并证明 G. H. Hardy 于 1916 年提出的经典定理：对于参数满足 $ab \geq 1$（若 $ab=1$ 则附加条件 $b \notin \mathbb{Z}$）的魏尔斯特拉斯型函数 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$，其在实数域上处处连续但无处可微。该结论强化了魏尔斯特拉斯的原始结果，是实分析历史上的一个里程碑。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1872年，卡尔·魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 首次构造了一个处处连续但无处可微的函数，震惊了数学界，其形式为：
	\[
	W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), \quad 0 < a < 1, \quad b \in \mathbb{N} \text{ 为奇整数}, \quad ab > 1 + \frac{3\pi}{2}.
	\]
	G. H. Hardy 在 1916 年的论文中极大地改进了这一结果，证明了 $ab \geq 1$ 即是保证函数无处可微的充分条件。
	
	\section{定理陈述}
	\begin{theorem}[Hardy, 1916]
		考虑函数
		\[
		f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x),
		\]
		其中 $0 < a < 1$, $b > 1$ 为实数。若参数满足
		\[
		ab \geq 1,
		\]
		并且当 $ab = 1$ 时要求 $b$ 不是整数，则该函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的每一点都不可微。
	\end{theorem}
	
	\section{证明思路与关键步骤}
	证明采用反证法，并精心选取步长 $h_m$ 以引出矛盾。
	
	\subsection{记号与假设}
	假设存在一点 $x_0 \in \mathbb{R}$，使得导数 $f'(x_0)$ 存在。定义差商：
	\[
	Q(h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.
	\]
	则应有 $\lim_{h \to 0} Q(h) = f'(x_0)$。
	
	\subsection{选取步长}
	选取一列趋于零的步长 $\{h_m\}$，定义为：
	\[
	h_m = \pm \frac{1}{b^m},
	\]
	符号的选择是为了保证后续推导中的某项非负。为简便起见，下文取 $h_m = b^{-m}$。
	
	\subsection{差商的分解}
	将差商按照级数的项分解：
	\begin{align*}
		Q(h_m) &= \frac{1}{h_m} \sum_{n=0}^{\infty} a^n \left[ \cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0) \right] \\
		&= \sum_{n=0}^{m-1} a^n \frac{ \Delta_n(h_m) }{h_m} + a^m \frac{ \Delta_m(h_m) }{h_m} + \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n \frac{ \Delta_n(h_m) }{h_m} \\
		&= S_1(m) + S_2(m) + S_3(m).
	\end{align*}
	其中 $\Delta_n(h) = \cos(b^n \pi (x_0 + h)) - \cos(b^n \pi x_0)$。
	
	\subsection{估计各项}
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{估计 $S_1(m)$ (低频部分 $n < m$)}: 利用中值定理，
		\[
		|S_1(m)| = \left| \sum_{n=0}^{m-1} a^n (-\sin(\xi_n)) (b^n \pi) \right| \leq \pi \sum_{n=0}^{m-1} (ab)^n.
		\]
		若 $ab > 1$，此和式随 $m$ 增大而无界；若 $ab=1$，其阶为 $O(m)$。
		
		\item \textbf{估计 $S_2(m)$ (主导部分 $n = m$)}: 这是关键项。
		\begin{align*}
			S_2(m) &= a^m \frac{ \cos(b^m \pi (x_0 + b^{-m})) - \cos(b^m \pi x_0) }{ b^{-m} } \\
			&= a^m b^m \left[ \cos(b^m \pi x_0 + \pi) - \cos(b^m \pi x_0) \right] \\
			&= a^m b^m \left[ -\cos(b^m \pi x_0) - \cos(b^m \pi x_0) \right] \\
			&= -2 (ab)^m \cos(b^m \pi x_0).
		\end{align*}
		其绝对值 $|S_2(m)| = 2(ab)^m |\cos(b^m \pi x_0)|$。由于 $ab \geq 1$，此项要么无界增长 ($ab>1$)，要么其幅值恒大于等于 $2|\cos(b^m \pi x_0)|$ ($ab=1$)。
		
		\item \textbf{估计 $S_3(m)$ (高频部分 $n > m$)}: 利用三角恒等式及 $b^n h_m = b^{n-m}$ 是整数，可得 $\Delta_n(h_m) = 0$。因此，$S_3(m) = 0$。
	\end{enumerate}
	
	\subsection{导出矛盾}
	综合以上估计，差商 $Q(h_m)$ 的主项 $S_2(m)$ 的模至少是 $2(ab)^m |\cos(b^m \pi x_0)| - \pi \sum_{n=0}^{m-1} (ab)^n$。由于 $ab \geq 1$，且可以选择合适的 $x_0$（或通过符号选择 $h_m = \pm b^{-m}$ 来确保 $|\cos(b^m \pi x_0)|$ 不趋于零），整个差商 $Q(h_m)$ 将随着 $m \to \infty$ 而无界振荡或发散，这与假设 $f'(x_0)$ 存在矛盾。
	
	\section{结论}
	Hardy 的证明清晰地表明，参数条件 $ab \geq 1$ 足以保证魏尔斯特拉斯型函数的无处可微性，这一结果在分形几何与实分析中具有 foundational 的地位。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8, domain=0:4, samples=500]
			% Axes
			\draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,-2.2) -- (0,2.2) node[above] {$f(x)$};
			\node at (0,0) [below left] {$O$};
			
			% Function plot (a simplistic representation of Weierstrass-like behavior)
			\draw[very thick, blue] plot (\x, {
				0.7^0 * cos(180 * 3^0 * \x) +
				0.7^1 * cos(180 * 3^1 * \x) +
				0.7^2 * cos(180 * 3^2 * \x) +
				0.7^3 * cos(180 * 3^3 * \x)
			});
			
			% Title
			\node at (2, -2.5) {魏尔斯特拉斯函数示意图 ($a=0.7$, $b=3$, $ab=2.1 > 1$)};
			
			% Brace and text indicating self-similarity/roughness
			\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=5pt, mirror}, very thick] (1, -1.8) -- (3, -1.8);
			\node at (2, -2.2) {无处可微};
		\end{tikzpicture}
		\caption{一个满足 $ab > 1$ 的魏尔斯特拉斯型函数片段，展示了其典型的连续但极度振荡、无处可微的特性。}
	\end{figure}
	